Ordinary Differential Equations

University:

Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas, Universidad de Chile

Contents:

First order equations
Linear equations
Laplace transform
Linear systems
Non lineal autonomous systems

Lecturers:

Raul Manasevich T.
Axel Osses A.
Gino Montecinos G.

Italo Cipriano J.
Cristóbal Bertoglio B.

Schedule: 

Starts: March 2017, Ends:July 2017.
Course of 29 lectures of 1.5 hours each.

Examinations:


Lectures  (in Spanish):

CLASE 1
  • Motivación de EDO mediante 2a Ley del movimiento de Newton
  • Definición de EDO y solución
  • Ejemplos de EDO
  • EDO de primer orden y diagrama de trayectorias
  • Resolución de EDO de primer orden elementales

CLASE 2
  • EDO lineal de primer orden
  • Solución general de EDO lineal de primer orden
  • Teorema de existencia y unicidad para solución de EDO lineal de primer orden
  • EDO de variables separables
  • Representación implicita de solución de EDO de variables separables
  • Problema de EDO lineal de primer orden y problemas de EDO de variables separables, incluyendo diagrama de trayectorias y problema de condición inicial

CLASE 3 [ec. Bernoulli]
  • Recuerdo clases 1 y 2: EDO lineal primer orden y de variable separables
  • Aplicación al mundo real: Ley del enfriamiento de Newton
  • Ecuación de Bernoulli, y un ejemplo
  • Ecuación homegénea de grado 0, y un ejemplo

CLASE 4 [ec. Exactas]
  • Continuidad en R^2
  • Derivadas parciales
  • Ecuaciones exactas
  • Propiedad de caracterización de soluciones de ecuaciones exactas
  • Criterio de exactitud
  • Dos problemas

CLASE 5 [ec. Ricatti]
  • Recuerdo clases 4: ec. exactas y criterio de exactitud
  • Factor integrante: transforma ec M+Ny´=0 no exacta en qM+qNy´=0 ec exacta con q\neq 0. Solo en casos q(x,y)=q(x) o q(x,y)=q(y), se encontró q explicitamente.
  • Ecuación de Ricatti, y un ejemplo
  • Esquema resumen de ecs de primer orden que hemos estudiado
  • Enunciados de teoremas de Picard-Lindelof (existencia y unicidad global o TEU global) y Peano-Cauchy (existencia global o TE global)

CLASE 6 [Demostración TEU global]
  • Definición de espacio vectorial métrico (E,d)
  • Ejercicios (ejemplos) de espacios vectoriales métricos
  • Ejercicio: las funciones continuas de [0,1] en los reales es métrico completo para una métrica d_k definida en clases
  • Escritura equivalente de la solución al problema de Cauchy, e introducción de un operador T para el cual Ty=y ssi y es solución del problema de Cauchy 
  • Definición de operador contractivo en (E,d)
  • Teorema del punto fijo de Banach con demostración
  • Demostración del Teorema de Picard-Lindelof (quedó como ejercicio demostrar que T es continuo), se demostró que el operador T es contracción con respecto a d_k (para k grande)
  • Método de Picard y un ejemplo
  • Ejercicios propuestos de aplicación de los teorema de Picard-Lindelof y Peano-Cauchy

CLASE 7 [TEU-TE locales y soluciones maximales]
  • Recuerdo clases 6: TEU y TE locales
  • TEU local en un intervalo explícito en función de la condición inicial y la función f
  • Soluciones maximales y prolongaciones de soluciones
  • TEU local maximal
  • Aplicaciones de los teoremas (TEU-TE global, TEU-TE local y TEU-maximal) a problemas de Cauchy y análisis de un caso en que ningún teorema aplica 

CLASE 8 [Métodos numéricos] (clase basada en apunte de A. Osses: Capítulo 2, Sección 4)
  • Motivación de métodos numéricos (uso del operador de Picard)
  • Método de Euler progresivo
  • Método de Euler retrogrado
  • Método de Euler modificado
  • Método de Heun
  • Método de Runge-Kutta de orden 4 (sin justificación)
  • Error global/local y orden del método
  • Estabilidad: Estable, Condicionalmente Estable e Inestable
  • Un ejemplo

CLASE 9 [Error del método de Euler] [URL youtu.be/X2mwqujj6-A]
  • Recuerdo Algoritmo de Euler progresivo
  • Teorema del error (para Euler progresivo)
  • Demostración
  • Condiciones suficientes

CLASE 10 [Aplicaciones] [URL youtu.be/eyhfo8SWnm0]
  • El problema del resorte
  • Idea útil: transformar ecuación de segundo orden en sistema de ecuaciones de primer orden 
  • Resolución numérica del problema del resorte con Algoritmo de Euler, tanto en Octave como en Matlab
  • El Atractor de Lorentz
  • Resolución numérica del Atractor de Lorentz con algoritmo de Runge-Kutta de orden 4, tanto en Octave como en Matlab

CLASE 11 [La ecuación del péndulo]
  • Segunda Ley de Newton aplicada al problema del péndulo
  • La ecuación del péndulo en coordenadas cartesianas
  • Solución numérica mediante reducción a sistema de ecuaciones de primer orden
  • Solución implícita con coordenadas cartesianas
  • La ecuación del péndulo en coordenadas polares
  • Solución implícita con coordenadas polares
  • Ecuación del péndulo con condiciones iniciales
  • Diagrama de Fase para la solución implícita
  • Equilibrios estables, equilibrios inestables y período de oscilaciones
  • Problema: Demostrar que todas las soluciones de la ec y´=-y son de la forma Ccos(x)+Dsin(x)

CLASE 12 [Ec Lineal de Segundo Orden]
  • Todas las soluciones de la ec y´=y son de la forma Cexp(x)+Dexp(-x)
  • Definición de Ec Lineal de Segundo Orden y la Ec Lineal de Segundo Orden homogénea
  • Teorema de existencia y unicidad de la solución de Ec Lineal de Segundo Orden con condiciones iniciales (sin demostración)
  • Definición del Wronskiano y de un conjunto fundamental
  • Teorema del Wronskiano para determinar si un conjunto es fundamental
  • Solución general de la Ec Lineal de Segundo Orden homogénea
  • Demostración que todas las soluciones de la ec y´=-y son de la forma Ccos(x)+Dsin(x)
  • Fórmula de la reducción de orden (para obtener conjunto fundamental a partir de una solución de la Ec Lineal de Segundo Orden homogénea)
  • Solución general de la Ec Lineal de Segundo Orden (sin demostración)
  • Un ejemplo de aplicación

CLASE 13 [Resolución ecuaciones lineales de segundo orden]
  • Fórmula para el Wronskiano
  • Fórmula de variación de parámetros
  • Fórmula para el conjunto fundamental de la ecuación con coeficientes constantes
  • Método de coeficientes indeterminados
  • Principio de superposición
  • Condiciones de borde

CLASE 14 [Resolución ecuaciones lineales de grado superior]
  • Teorema fundamental
  • Fórmula de variación de parámetros
  • Fórmula para el conjunto fundamental de la ecuación con coeficientes constantes
  • Método de coeficientes indeterminados

CLASE 15 [Transformada de Laplace]
  • Motivación
  • Funciones de orden exponencial
  • Definición de la Transformada de Laplace 
  • Transformadas Elementales: exp(ax), x^n, sin(ax), cos(ax)
  • Propiedades de la transformada: Linealidad, transformada de la derivada, derivada de la transformada y translación (1er teorema)
  • Definición de la anti-transformada
  • Aplicación a la resolución de EDOs con condición inicial

CLASE 16 [Aplicaciones de la Transformada de Laplace]
  • Aplicación a la resolución de EDOs con condición inicial
  • Cálculo de anti-transformadas
  • Definición de la función indicatriz
  • Segundo teorema de translación
  • Cálculo de la transformada de funciones continuas por tramos
  • Aplicación a la resolución de EDOs con condición inicial y lado derecho continuo por tramos
  • Teorema de convolución

CLASE 17 [Sistemas Lineales de Primer Orden, Clase 1/2]
  • Teorema de Convolución con demostración
  • Aplicación de la transformada al cálculo de integrales impropias (fin de capítulo de Laplaces)
  • Definición de Sistemas lineales de primer orden x`(t)=A(t)x(t)+b(t) (Inicio de capítulo de Sistemas Lineales)
  • Ecuaciones lineales de orden N pueden escribirse como un sistemas lineal de primer orden (y al revés: propuesto)
  • Teorema fundamental de existencia y unicidad para el problema con condición inicial x`(t)=A(t)x(t)+b(t), x(t_0)=gamma
  • Definición de Wronskiano y conjunto fundamental para Sistemas Lineales de Primer Orden homogéneo x`(t)=A(t)x(t)
  • La matriz exponencial (o exponencial de una matriz) exp(A) o e^A.
  • Derivada de la matriz exponencial
  • Solución de Sistema Lineal de Primer Orden Homogéneo en caso A de coeficientes constantes x`(t)=Ax(t), tiene solución x(t)=exp(tA)c con c contante en R^(numero filas de A)

CLASE 18 [Sistemas Lineales de Primer Orden, Clase 2/2]
  • Matriz fundamental X(t) de un sistema lineal homogéneo x`(t)=A(t)x(t)
  • exp(A+B)=exp(A)exp(B) si AB=BA
  • exp(tA)=exp(t lambda)exp(t(A-lambda I))
  • exp(tA)u=exp(t lambda)u si Au=lambda u
  • Vectores propios generalizados
  • Matrices diagonalizables A=PDP^{-1} y teorema de descomposición de Jordan A=PJP^{-1}
  • Cálculo de la exponencial de una matriz diagonal e^D
  • Cálculo de la exponencial de una matriz de Jordan e^J
  • Fórmula explícita de la matriz fundamental en el caso de un sistema lineal homogéneo x`(t)=Ax(t) con A de coeficientes constantes (caso A diagonalizable y caso A no diagonalizable)
  • Sistemas Lineales de Primer Orden no homogéneos x`(t)=A(t)x(t)+b(t)
  • Fórmula de variación de parámetros x_p=X(t) \int X(t)^{-1}b(t)dt 
  • Observación: Fórmula de variación de parámetros válido para el caso A(t) no constante, sin embargo, enunciamos fórmula para encontrar la matriz fundamental solo en el caso A constante

CLASE 19 [Sistemas Lineales de Primer Orden, ejercicios resueltos 1/2]
  • Recuerdo de: sistemas lineales de primer orden, matriz fundamental, solución en el caso homogéneo, solución del caso homogéneo con condición inicial, caso no homogéneo y formula de variación de parámetros, y teorema fundamental
  • Ejemplo 1: x´=Ax, con A de 2x2 diagonalizable con valores propios reales distintos.
  • Ejemplo 2: x´=Ax, con A de 2x2 diagonalizable con valores propios complejos conjugados.

CLASE 20 [Sistemas Lineales de Primer Orden, ejercicios resueltos 2/2]
  • Ejemplo 3: x´=Ax, con A de 3x3 diagonalizable con valores propios reales no necesariamente distintos.
  • Ejemplo 4: x´=Ax, con A de 3x3 no diagonalizable con valores propios reales no necesariamente distintos.
  • Ejemplo 5: x´=Ax+b, con A de 2x2 diagonalizable con valores propios reales distintos, solución particular con variación de parámetros.

CLASE 21 [Aplicación de transformada de Laplace a Sistemas Lineales de Primer Orden]
  • Definición de Delta de Dirac y sus propiedades
  • Teorema de Lerch
  • Definición de función pulso
  • Recuerdo: Transformada de Laplace, Tabla de Transformadas, propiedades, antitransformada
  • Ejemplo: resolución de Sistema Lineal de Primer Orden de 3x3 con condición inicial usando transformada de Laplace
  • Algunas herramientas para ''agilizar'' cálculos (fracciones parciales!)

CLASE 22 [Sistemas Autónomos]
  • Ejemplo: x´=Ax, caso A equivalente a un bloque de Jordan de 3x3.
  • Introducción a los Sistemas Autónomos ''cualitativo en vez de cuantitativo''
  • Definición de Sistemas Autónomos, ejemplo y contraejemplo
  • Ejemplo: 2a Ley de Newton
  • Definición de : equilibrio o estado estacionario y trayectoria
  • Teorema: Sistemas Autónomos (con f C1) con condición inicial admite a lo más una solución
  • Trayectorias asociadas a soluciones distintas no se intersectan
  • Si una trayectoria se autointersecta debe ser cerrada
  • Trayectorias homoclínicas y heteroclínicas
  • Ejemplo: Análisis de las trayectorias mediante aproximaciones lineales en los equilibrios

CLASE 23 [Sistemas Autónomos: Análisis Cualitativo de Sistemas Lineales]
  • Caracterización geométrica de las soluciones de sistemas lineales x´=Ax, con A matriz de 2x2 a coeficientes reales
  • Tabla de valores propios, tipo de equilibrio, estabilidad

CLASE 24 [Sistemas Autónomos: Análisis Cualitativo de Sistemas Casi-Lineales]
  • Finalización de Tabla de clase anterior
  • Definición de Sistemas Autónomos Casi-Lineales
  • Teorema de Sistemas Autónomos Casi-Lineales (tabla similar al caso de sistemas lineales)
  • Criterio equivalente para determinar casi-linealidad de un sistema
  • Ejemplo: Determinar si una ecuación de 2o orden se puede escribir como un sistema casi lineal y analizar cualitativamente las soluciones

CLASE 25 [Análisis cualitativo de modelos no-lineales 1/2]
  • Definiciones generales de equilibrio asimptóticamente estable, equilibrio estable y equilibrio inestable. Ejemplos: péndulo amortiguado en ángulo 0 (vertical hacia abajo), péndulo no amortiguado en ángulo 0 (vertical hacia abajo) y péndulo amortiguado o no amortiguado en ángulo  [\pi]  (vertical hacia arriba), respectivamente
  •  Ecuación logística
  • Modelo de especies competidoras dado por sistema autónomo de ecuaciones
  • Problemas

CLASE 26 [Análisis cualitativo de modelos no-lineales 2/2]
  • Resolución problemas clase 25
  • Modelo de predador-presa o ecuaciones de Lotka-Volterra

CLASE 27 [Método de Lyapunov 1/2]
  • Resolución problemas de modelo depredador-presa de clase 26 y análisis cualitativo del diagrama de fase
  • Motivación al método de Lyapunov: determinar el tipo de equilibrio en casos en que ecuación no hereda tipo de equilibrio del sistema linealizado y en general estudiar atractores
  • El método de Lyapunov generaliza dos conceptos físicos: un sistema es estable si se encuentra en u mínimo de energía potencial, y la energía total se preserva en cualquier movimiento.
  •  Ejemplo del péndulo para motivar el método de Lyapunov usando la Energía total del sistema, en este caso la función de Lyapunov corresponde a la energía total del sistema en el péndulo para el ángulo 0, para el ángulo  [\pi]  consideramos una función distinta 

CLASE 28 [Método de Lyapunov 2/2]
  • Definición de función de Lyapunov
  • Definición de definido/semidefinido positivo/negativo
  • Enuncidado de los teoremas de Lyapunov para determinar el tipo de equilibrio de sistemas 
  • Un teorema útil para encontrar funciones de Lyapunov
  • Ejemplo de aplicación del método de Lyapunov para el estudio de los tipos de equilibrio del péndulo

CLASE 29 [Ejemplos de aplicación del Método de Lyapunov]
  •  Recuerdo del método de Lyapunov
  •  Dos problemas de aplicación del método de Lyapunov para demostrar que un equilibrio es asintóticamente estable
  •  Resumen del contenido del curso, resultados más importantes
  • Fin del curso   cualquier duda pueden escribirme a [email protected]


Bibliography:

Suggested:
  • Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems, Gerald Teschl, 
  • Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, Boyce DiPrima 1997 
  • Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos, Hirsch, Smale 2003 
  • Nonlinear Systems, Drazin 1992

Classics (and old) ;
  • Cauchy’s introductory course in differential equations (reprinted by Springer on the anniversary of Cauchy’s death)
  • A Treatise on Differential Equations, de George Boole, (reprinted by Cambridge University Press Book DOI: doi.org/10.1017/CBO9781107049550)

Other:
  • Ordinary Differential Equations, Amann 
  • Ordinary Differential Equations with Applications, C. Chicone

Russian:
  • Ordinary Differential Equations, I.G. Petrovski and R. A. Silverman
  • Ordinary Differential Equations, Arnold's and Pontryagin's

Advanced:
  • Ordinary Differential Equations, Philip Hartman

Well motivated:
  • Differential Equations With Applications and Historical Notes, George Simmons

Alternative:
  • Ordinary Differential Equations, Garrett Birkhoff and Gian-Carlo Rota

Spanish written:
  • Ecuaciones diferenciales, M. Molero, A. Salvador, T. Menarguez, L. Garmendia
  • Ecuaciones diferenciales ordinarias. Teoría de estabilidad y control, M. Gúzman
  • Ecuaciones diferenciales II, C. Férnandez y J.M. Vegas

Selected of the course (in Spanish):

  • G.F. Simmons, Ecuaciones diferenciales ordinarias (con aplicaciones y notas históricas), MacGraw & Hill, 1993 (versión en Castellano).
  • Edwards, Penney: Ecuaciones Diferenciales. Prentice-Hall, Parson Educación, 2001. 
  • D. Zill, F. Sánchez Fragosos, Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado, Cengage Learning Editores, 2006.
  • D. Kreider, R. Kuller, D. Ostberg, Ecuaciones Diferenciales, Fondo Educativo. Interamericano, 1973.
  • A. Osses, Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, CMM, Universidad de Chile, 2013


Find this course  and similar ones here  http://shtuka.cl/ecuaciones-diferenciales-ordinarias/


you are welcome to my personal homepage!
Italo Cipriano


Upcomings events

Invitaciones a estudiantes a participar
Del 19 al 21 Diciembre en UOH  LXXXVII Encuentro Anual de la Sociedad Matemática de Chile 

I am in charge of the  seminar of Dynamical Systems in Santiago 2018.  Details of each seminar are available here.

Some upcoming conferences in Chile.

Short Bio​
​​

I am a postdoctoral fellow supported by CONICYT PIA ACT172001 at Pontificia Universidad Católica de Chile. My research is in Dynamical Systems and I am primarily interested in Thermodynamic Formalism.

Contact​

​e-mail: [email protected]
Phone:+ 56 23541019
Address: Oficina 131


Divulgation

I once created a blog with the goal of divulging maths.​


Publications

Stationary measures associated to analytic iterated function schemes, (with Mark Pollicott) Math. Nachr. 291 (2018), no. 7, 1049–1054 (Wiley Online Library).

Entry time statistics to different shrinking sets, Stoch. Dyn., 17 (2017), no. 3, 314–323. (Stochastics and Dynamics).

Preprints

Continuous coboundaries of the product of smooth functions  (with Ryo Moore). (arXiv).

Time change for flows and thermodynamic formalism (with Godofredo Iommi). (arXiv).

The Wasserstein distance between stationary measures associated to iterated function schemes on the unit interval. (arXiv).

The smoothness of the stationary measure. (arXiv).

A Large deviation and an escape rate result for special semi-flows. (arXiv).

Escape rate for special semi-flows over non-invertible subshifts of finite type. (arXiv). 

Teaching

Fall 2017. Foundations, Universidad Adolfo Ibáñez.

Fall and Spring 2017. Introduction to Calculus, Universidad Técnica Federico Santa María.

Spring 2016. Linear Algebra, Universidad Adolfo Ibáñez.

Fall and Spring 2017. Differentiation and Integration, Universidad Técnica Federico Santa María.

Fall 2017. ODE, Facultad de Ciencias Física y Matemáticas
.

Links

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Dynamical systems in Chile
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