Ordinary Differential Equations

University:

Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas, Universidad de Chile

Contents:

First order equations
Linear equations
Laplace transform
Linear systems
Non lineal autonomous systems

Lecturers:

Raul Manasevich T.
Axel Osses A.
Gino Montecinos G.

Italo Cipriano J.
Cristóbal Bertoglio B.

Schedule: 

Starts: March 2017, Ends:July 2017.
Course of 29 lectures of 1.5 hours each.

Examinations:


Lectures  (in Spanish):

CLASE 1
  • Motivación de EDO mediante 2a Ley del movimiento de Newton
  • Definición de EDO y solución
  • Ejemplos de EDO
  • EDO de primer orden y diagrama de trayectorias
  • Resolución de EDO de primer orden elementales

CLASE 2
  • EDO lineal de primer orden
  • Solución general de EDO lineal de primer orden
  • Teorema de existencia y unicidad para solución de EDO lineal de primer orden
  • EDO de variables separables
  • Representación implicita de solución de EDO de variables separables
  • Problema de EDO lineal de primer orden y problemas de EDO de variables separables, incluyendo diagrama de trayectorias y problema de condición inicial

CLASE 3 [ec. Bernoulli]
  • Recuerdo clases 1 y 2: EDO lineal primer orden y de variable separables
  • Aplicación al mundo real: Ley del enfriamiento de Newton
  • Ecuación de Bernoulli, y un ejemplo
  • Ecuación homegénea de grado 0, y un ejemplo

CLASE 4 [ec. Exactas]
  • Continuidad en R^2
  • Derivadas parciales
  • Ecuaciones exactas
  • Propiedad de caracterización de soluciones de ecuaciones exactas
  • Criterio de exactitud
  • Dos problemas

CLASE 5 [ec. Ricatti]
  • Recuerdo clases 4: ec. exactas y criterio de exactitud
  • Factor integrante: transforma ec M+Ny´=0 no exacta en qM+qNy´=0 ec exacta con q\neq 0. Solo en casos q(x,y)=q(x) o q(x,y)=q(y), se encontró q explicitamente.
  • Ecuación de Ricatti, y un ejemplo
  • Esquema resumen de ecs de primer orden que hemos estudiado
  • Enunciados de teoremas de Picard-Lindelof (existencia y unicidad global o TEU global) y Peano-Cauchy (existencia global o TE global)

CLASE 6 [Demostración TEU global]
  • Definición de espacio vectorial métrico (E,d)
  • Ejercicios (ejemplos) de espacios vectoriales métricos
  • Ejercicio: las funciones continuas de [0,1] en los reales es métrico completo para una métrica d_k definida en clases
  • Escritura equivalente de la solución al problema de Cauchy, e introducción de un operador T para el cual Ty=y ssi y es solución del problema de Cauchy 
  • Definición de operador contractivo en (E,d)
  • Teorema del punto fijo de Banach con demostración
  • Demostración del Teorema de Picard-Lindelof (quedó como ejercicio demostrar que T es continuo), se demostró que el operador T es contracción con respecto a d_k (para k grande)
  • Método de Picard y un ejemplo
  • Ejercicios propuestos de aplicación de los teorema de Picard-Lindelof y Peano-Cauchy

CLASE 7 [TEU-TE locales y soluciones maximales]
  • Recuerdo clases 6: TEU y TE locales
  • TEU local en un intervalo explícito en función de la condición inicial y la función f
  • Soluciones maximales y prolongaciones de soluciones
  • TEU local maximal
  • Aplicaciones de los teoremas (TEU-TE global, TEU-TE local y TEU-maximal) a problemas de Cauchy y análisis de un caso en que ningún teorema aplica 

CLASE 8 [Métodos numéricos] (clase basada en apunte de A. Osses: Capítulo 2, Sección 4)
  • Motivación de métodos numéricos (uso del operador de Picard)
  • Método de Euler progresivo
  • Método de Euler retrogrado
  • Método de Euler modificado
  • Método de Heun
  • Método de Runge-Kutta de orden 4 (sin justificación)
  • Error global/local y orden del método
  • Estabilidad: Estable, Condicionalmente Estable e Inestable
  • Un ejemplo

CLASE 9 [Error del método de Euler] [URL youtu.be/X2mwqujj6-A]
  • Recuerdo Algoritmo de Euler progresivo
  • Teorema del error (para Euler progresivo)
  • Demostración
  • Condiciones suficientes

CLASE 10 [Aplicaciones] [URL youtu.be/eyhfo8SWnm0]
  • El problema del resorte
  • Idea útil: transformar ecuación de segundo orden en sistema de ecuaciones de primer orden 
  • Resolución numérica del problema del resorte con Algoritmo de Euler, tanto en Octave como en Matlab
  • El Atractor de Lorentz
  • Resolución numérica del Atractor de Lorentz con algoritmo de Runge-Kutta de orden 4, tanto en Octave como en Matlab

CLASE 11 [La ecuación del péndulo]
  • Segunda Ley de Newton aplicada al problema del péndulo
  • La ecuación del péndulo en coordenadas cartesianas
  • Solución numérica mediante reducción a sistema de ecuaciones de primer orden
  • Solución implícita con coordenadas cartesianas
  • La ecuación del péndulo en coordenadas polares
  • Solución implícita con coordenadas polares
  • Ecuación del péndulo con condiciones iniciales
  • Diagrama de Fase para la solución implícita
  • Equilibrios estables, equilibrios inestables y período de oscilaciones
  • Problema: Demostrar que todas las soluciones de la ec y´=-y son de la forma Ccos(x)+Dsin(x)

CLASE 12 [Ec Lineal de Segundo Orden]
  • Todas las soluciones de la ec y´=y son de la forma Cexp(x)+Dexp(-x)
  • Definición de Ec Lineal de Segundo Orden y la Ec Lineal de Segundo Orden homogénea
  • Teorema de existencia y unicidad de la solución de Ec Lineal de Segundo Orden con condiciones iniciales (sin demostración)
  • Definición del Wronskiano y de un conjunto fundamental
  • Teorema del Wronskiano para determinar si un conjunto es fundamental
  • Solución general de la Ec Lineal de Segundo Orden homogénea
  • Demostración que todas las soluciones de la ec y´=-y son de la forma Ccos(x)+Dsin(x)
  • Fórmula de la reducción de orden (para obtener conjunto fundamental a partir de una solución de la Ec Lineal de Segundo Orden homogénea)
  • Solución general de la Ec Lineal de Segundo Orden (sin demostración)
  • Un ejemplo de aplicación

CLASE 13 [Resolución ecuaciones lineales de segundo orden]
  • Fórmula para el Wronskiano
  • Fórmula de variación de parámetros
  • Fórmula para el conjunto fundamental de la ecuación con coeficientes constantes
  • Método de coeficientes indeterminados
  • Principio de superposición
  • Condiciones de borde

CLASE 14 [Resolución ecuaciones lineales de grado superior]
  • Teorema fundamental
  • Fórmula de variación de parámetros
  • Fórmula para el conjunto fundamental de la ecuación con coeficientes constantes
  • Método de coeficientes indeterminados

CLASE 15 [Transformada de Laplace]
  • Motivación
  • Funciones de orden exponencial
  • Definición de la Transformada de Laplace 
  • Transformadas Elementales: exp(ax), x^n, sin(ax), cos(ax)
  • Propiedades de la transformada: Linealidad, transformada de la derivada, derivada de la transformada y translación (1er teorema)
  • Definición de la anti-transformada
  • Aplicación a la resolución de EDOs con condición inicial

CLASE 16 [Aplicaciones de la Transformada de Laplace]
  • Aplicación a la resolución de EDOs con condición inicial
  • Cálculo de anti-transformadas
  • Definición de la función indicatriz
  • Segundo teorema de translación
  • Cálculo de la transformada de funciones continuas por tramos
  • Aplicación a la resolución de EDOs con condición inicial y lado derecho continuo por tramos
  • Teorema de convolución

CLASE 17 [Sistemas Lineales de Primer Orden, Clase 1/2]
  • Teorema de Convolución con demostración
  • Aplicación de la transformada al cálculo de integrales impropias (fin de capítulo de Laplaces)
  • Definición de Sistemas lineales de primer orden x`(t)=A(t)x(t)+b(t) (Inicio de capítulo de Sistemas Lineales)
  • Ecuaciones lineales de orden N pueden escribirse como un sistemas lineal de primer orden (y al revés: propuesto)
  • Teorema fundamental de existencia y unicidad para el problema con condición inicial x`(t)=A(t)x(t)+b(t), x(t_0)=gamma
  • Definición de Wronskiano y conjunto fundamental para Sistemas Lineales de Primer Orden homogéneo x`(t)=A(t)x(t)
  • La matriz exponencial (o exponencial de una matriz) exp(A) o e^A.
  • Derivada de la matriz exponencial
  • Solución de Sistema Lineal de Primer Orden Homogéneo en caso A de coeficientes constantes x`(t)=Ax(t), tiene solución x(t)=exp(tA)c con c contante en R^(numero filas de A)

CLASE 18 [Sistemas Lineales de Primer Orden, Clase 2/2]
  • Matriz fundamental X(t) de un sistema lineal homogéneo x`(t)=A(t)x(t)
  • exp(A+B)=exp(A)exp(B) si AB=BA
  • exp(tA)=exp(t lambda)exp(t(A-lambda I))
  • exp(tA)u=exp(t lambda)u si Au=lambda u
  • Vectores propios generalizados
  • Matrices diagonalizables A=PDP^{-1} y teorema de descomposición de Jordan A=PJP^{-1}
  • Cálculo de la exponencial de una matriz diagonal e^D
  • Cálculo de la exponencial de una matriz de Jordan e^J
  • Fórmula explícita de la matriz fundamental en el caso de un sistema lineal homogéneo x`(t)=Ax(t) con A de coeficientes constantes (caso A diagonalizable y caso A no diagonalizable)
  • Sistemas Lineales de Primer Orden no homogéneos x`(t)=A(t)x(t)+b(t)
  • Fórmula de variación de parámetros x_p=X(t) \int X(t)^{-1}b(t)dt 
  • Observación: Fórmula de variación de parámetros válido para el caso A(t) no constante, sin embargo, enunciamos fórmula para encontrar la matriz fundamental solo en el caso A constante

CLASE 19 [Sistemas Lineales de Primer Orden, ejercicios resueltos 1/2]
  • Recuerdo de: sistemas lineales de primer orden, matriz fundamental, solución en el caso homogéneo, solución del caso homogéneo con condición inicial, caso no homogéneo y formula de variación de parámetros, y teorema fundamental
  • Ejemplo 1: x´=Ax, con A de 2x2 diagonalizable con valores propios reales distintos.
  • Ejemplo 2: x´=Ax, con A de 2x2 diagonalizable con valores propios complejos conjugados.

CLASE 20 [Sistemas Lineales de Primer Orden, ejercicios resueltos 2/2]
  • Ejemplo 3: x´=Ax, con A de 3x3 diagonalizable con valores propios reales no necesariamente distintos.
  • Ejemplo 4: x´=Ax, con A de 3x3 no diagonalizable con valores propios reales no necesariamente distintos.
  • Ejemplo 5: x´=Ax+b, con A de 2x2 diagonalizable con valores propios reales distintos, solución particular con variación de parámetros.

CLASE 21 [Aplicación de transformada de Laplace a Sistemas Lineales de Primer Orden]
  • Definición de Delta de Dirac y sus propiedades
  • Teorema de Lerch
  • Definición de función pulso
  • Recuerdo: Transformada de Laplace, Tabla de Transformadas, propiedades, antitransformada
  • Ejemplo: resolución de Sistema Lineal de Primer Orden de 3x3 con condición inicial usando transformada de Laplace
  • Algunas herramientas para ''agilizar'' cálculos (fracciones parciales!)

CLASE 22 [Sistemas Autónomos]
  • Ejemplo: x´=Ax, caso A equivalente a un bloque de Jordan de 3x3.
  • Introducción a los Sistemas Autónomos ''cualitativo en vez de cuantitativo''
  • Definición de Sistemas Autónomos, ejemplo y contraejemplo
  • Ejemplo: 2a Ley de Newton
  • Definición de : equilibrio o estado estacionario y trayectoria
  • Teorema: Sistemas Autónomos (con f C1) con condición inicial admite a lo más una solución
  • Trayectorias asociadas a soluciones distintas no se intersectan
  • Si una trayectoria se autointersecta debe ser cerrada
  • Trayectorias homoclínicas y heteroclínicas
  • Ejemplo: Análisis de las trayectorias mediante aproximaciones lineales en los equilibrios

CLASE 23 [Sistemas Autónomos: Análisis Cualitativo de Sistemas Lineales]
  • Caracterización geométrica de las soluciones de sistemas lineales x´=Ax, con A matriz de 2x2 a coeficientes reales
  • Tabla de valores propios, tipo de equilibrio, estabilidad

CLASE 24 [Sistemas Autónomos: Análisis Cualitativo de Sistemas Casi-Lineales]
  • Finalización de Tabla de clase anterior
  • Definición de Sistemas Autónomos Casi-Lineales
  • Teorema de Sistemas Autónomos Casi-Lineales (tabla similar al caso de sistemas lineales)
  • Criterio equivalente para determinar casi-linealidad de un sistema
  • Ejemplo: Determinar si una ecuación de 2o orden se puede escribir como un sistema casi lineal y analizar cualitativamente las soluciones

CLASE 25 [Análisis cualitativo de modelos no-lineales 1/2]
  • Definiciones generales de equilibrio asimptóticamente estable, equilibrio estable y equilibrio inestable. Ejemplos: péndulo amortiguado en ángulo 0 (vertical hacia abajo), péndulo no amortiguado en ángulo 0 (vertical hacia abajo) y péndulo amortiguado o no amortiguado en ángulo  [\pi]  (vertical hacia arriba), respectivamente
  •  Ecuación logística
  • Modelo de especies competidoras dado por sistema autónomo de ecuaciones
  • Problemas

CLASE 26 [Análisis cualitativo de modelos no-lineales 2/2]
  • Resolución problemas clase 25
  • Modelo de predador-presa o ecuaciones de Lotka-Volterra

CLASE 27 [Método de Lyapunov 1/2]
  • Resolución problemas de modelo depredador-presa de clase 26 y análisis cualitativo del diagrama de fase
  • Motivación al método de Lyapunov: determinar el tipo de equilibrio en casos en que ecuación no hereda tipo de equilibrio del sistema linealizado y en general estudiar atractores
  • El método de Lyapunov generaliza dos conceptos físicos: un sistema es estable si se encuentra en u mínimo de energía potencial, y la energía total se preserva en cualquier movimiento.
  •  Ejemplo del péndulo para motivar el método de Lyapunov usando la Energía total del sistema, en este caso la función de Lyapunov corresponde a la energía total del sistema en el péndulo para el ángulo 0, para el ángulo  [\pi]  consideramos una función distinta 

CLASE 28 [Método de Lyapunov 2/2]
  • Definición de función de Lyapunov
  • Definición de definido/semidefinido positivo/negativo
  • Enuncidado de los teoremas de Lyapunov para determinar el tipo de equilibrio de sistemas 
  • Un teorema útil para encontrar funciones de Lyapunov
  • Ejemplo de aplicación del método de Lyapunov para el estudio de los tipos de equilibrio del péndulo

CLASE 29 [Ejemplos de aplicación del Método de Lyapunov]
  •  Recuerdo del método de Lyapunov
  •  Dos problemas de aplicación del método de Lyapunov para demostrar que un equilibrio es asintóticamente estable
  •  Resumen del contenido del curso, resultados más importantes
  • Fin del curso   cualquier duda pueden escribirme a [email protected]


Bibliography:

Suggested:
  • Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems, Gerald Teschl, 
  • Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, Boyce DiPrima 1997 
  • Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos, Hirsch, Smale 2003 
  • Nonlinear Systems, Drazin 1992

Classics (and old) ;
  • Cauchy’s introductory course in differential equations (reprinted by Springer on the anniversary of Cauchy’s death)
  • A Treatise on Differential Equations, de George Boole, (reprinted by Cambridge University Press Book DOI: doi.org/10.1017/CBO9781107049550)

Other:
  • Ordinary Differential Equations, Amann 
  • Ordinary Differential Equations with Applications, C. Chicone

Russian:
  • Ordinary Differential Equations, I.G. Petrovski and R. A. Silverman
  • Ordinary Differential Equations, Arnold's and Pontryagin's

Advanced:
  • Ordinary Differential Equations, Philip Hartman

Well motivated:
  • Differential Equations With Applications and Historical Notes, George Simmons

Alternative:
  • Ordinary Differential Equations, Garrett Birkhoff and Gian-Carlo Rota

Spanish written:
  • Ecuaciones diferenciales, M. Molero, A. Salvador, T. Menarguez, L. Garmendia
  • Ecuaciones diferenciales ordinarias. Teoría de estabilidad y control, M. Gúzman
  • Ecuaciones diferenciales II, C. Férnandez y J.M. Vegas

Selected of the course (in Spanish):

  • G.F. Simmons, Ecuaciones diferenciales ordinarias (con aplicaciones y notas históricas), MacGraw & Hill, 1993 (versión en Castellano).
  • Edwards, Penney: Ecuaciones Diferenciales. Prentice-Hall, Parson Educación, 2001. 
  • D. Zill, F. Sánchez Fragosos, Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado, Cengage Learning Editores, 2006.
  • D. Kreider, R. Kuller, D. Ostberg, Ecuaciones Diferenciales, Fondo Educativo. Interamericano, 1973.
  • A. Osses, Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, CMM, Universidad de Chile, 2013


Find this course  and similar ones here  http://shtuka.cl/ecuaciones-diferenciales-ordinarias/